घात (Power)

a^b 
b→ घात (Power)
a → आधार (Base)
सूत्र :-
1.  a^m×aⁿ=a^m+n
2.  a^m÷ aⁿ= a^m-n 
3.  am×bm= (a×b)^m 
4.  a^m÷ b^m = (a÷b)^m 
5.  (a^m)ⁿ= a^m×n 
6.  a^-n= \(\frac{1}{\mathbf{a}^{n}}\)   
7.  \(\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\)  
8.  a⁰=1

Type I

1. 2³² तथा (2³)² में अन्तर बताओ।
Sol. 2³² = 2⁹=512
 (2³)² = 2⁶=64
अन्तर = 512-64=448
2. 3⁴×9^x × 27²=81⁴ हो तो x का मान बताओ।
Sol. 3⁴×2^2×x × 3^3×2= 3^4×4 
3^4+2x+6=3¹⁶ 
10 +2x=16
2x =6
x =3

3. \(\left\{\left(\sqrt[5]{x^{-3 / 5}}\right)^{-\frac{5}{3}}\right\}^{5}=?\)    
Sol. \(\left\{\left(x^{-3 / 5 x \frac{1}{5}}\right)^{-\frac{5}{3}}\right\}^{5}\)
\(\left\{\left(x^{-\frac{3}{5} x \frac{1}{5}}\right)^{-\frac{5}{3}}\right\}^{5}\)    
x¹=x
4.  \(\boldsymbol{\frac{2^{n}+2^{n-1}}{2^{n+1}-2^{n}}}\) का मान बताओ।
Sol. \(\frac{2^{n}+2^{n} \times 2^{-1}}{2^{n} \times 2^{1}-2^{n}}\)    
= \(\frac{2^{n}\left(1+2^{-1}\right)}{2^{n}(2-1)}\)  
= \(\frac{1+\frac{1}{2}}{2-1}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)  

5. a^2x+2 =1 हो तो x का मान बताओ।
Sol. a^2x+2 =a0 
2x+2=0
2x=-2
x= -1

Type II

अभाज्य गुणनखण्डों की संख्या ज्ञात करना
1. 126 के अभाज्य गुणनखण्डों की संख्या बताओ।
Sol.    

126= 2×3×3×7
अत: 126 के 4 अभाज्य गुणनखण्ड होगे।
2. 4³ ×5⁶×6⁸ ×12⁵ के अभाज्य गुणनखण्डो की संख्या बताओ।
Sol. 4³ ×5⁶×6⁸ ×12⁵
= (2×2)³ ×5⁶ × (2×2)⁸ × (2×2×3)¹⁵ 
= 2³×2³ ×5⁶×2⁸×3⁸×2¹⁵×2¹⁵×3¹⁵ 
अभाज्य गुणनखण्डों की संख्या = घातो की योग
= 3+3+6+8+8+15+15+15=73

Type III

1.  \(\sqrt[3]{3}, \sqrt[4]{2}, \sqrt[6]{5}, \sqrt[3]{4}\) में सबसे बड़ा कौन है।
Sol. \((3)^{\frac{1}{3}},(2)^{\frac{1}{4}}, 5^{\frac{1}{6}}, 4^{\frac{1}{3}}\)    
3, 4, 6, 3 का LCM=12
\((3)^{\frac{1}{3} \times 12}, \quad(2)^{\frac{1}{4} \times 12}, \quad 5^{\frac{1}{6} \times 12}, \quad 4^{\frac{1}{3} \times 12}\)
34    ,    23  ,    52    ,    43 
81    ,    8    ,    25    ,    64
सबसे बड़ी संख्या 81 है तो = \(\sqrt[3]{3}\)   
         
2. \(\sqrt[3]{4}, \sqrt{3}, \sqrt[4]{5}, \sqrt[12]{156}\)  में सबसे छोटी संख्या बताओ।
Sol. \(4^{\frac{1}{3}}, 3^{\frac{1}{2}}, 5^{\frac{1}{4}}, 156^{\frac{1}{12}}\)    
= 3, 2, 4, 12 का LCM= 12
=  \(4^{\frac{1}{3} \times 12}, 3^{\frac{1}{2} \times 12}, 5^{\frac{1}{4} \times 12}, 156^{\frac{1}{12} \times 12}\)
= 4⁴,  3⁶,  5³, 156¹ 
= 256, 729,  125,  156
सबसे छोटी संख्या 156 है तो = \(\sqrt[12]{156}\) 

Type IV

1. \((27)^{\frac{2}{3}}=?\)    
Sol.  \((27)^{\frac{2}{3}}\)   
= \(3^{3 \times \frac{2}{3}}\) 
= 3²
= 9

2.  \(\sqrt{27}-\sqrt{9}-\sqrt{3}=?\)   
Sol.  \(\sqrt{27}-\sqrt{9}-\sqrt{3}\)   
= \(\sqrt{9 \times 3}-3-\sqrt{3}\) 
= \(3 \sqrt{3}-3-\sqrt{3}\) 
= \(2 \sqrt{3}-3\) 

3. \(\frac{\sqrt{50}-\sqrt{108}}{\sqrt{200}-\sqrt{432}}=?\)    
Sol.  \(\frac{\sqrt{25 \times 2}-\sqrt{36 \times 3}}{\sqrt{100} \times 2-\sqrt{144 \times 3}}\)   
= \(\frac{5 \sqrt{2}-6 \sqrt{3}}{10 \sqrt{2}-12 \sqrt{3}}\) 
=  \(\frac{5 \sqrt{2}-6 \sqrt{3}}{2(5 \sqrt{2}-6 \sqrt{3})}=\frac{1}{2}\)

करणी आधारित प्रश्न
Type- I

1. \(\boldsymbol{\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \infty}}}=?}\)    
Sol. 12 के दो एक गुणनखण्ड निकालते है जो लगातार गुणज हो।
12=3×4
सभी प्रश्न में (+) है तो उत्तर बड़ा गुणनखण्ड हो।
अत: उत्तर 4 होगा।

2. \(\boldsymbol{\sqrt{72-\sqrt{72-\sqrt{72-\sqrt{72 \ldots \ldots \ldots \ldots .\infty}}}}=?}\)    
Sol. 72 के 2 लगातार गुणनखण्ड
72=8×9
यही प्रश्न में (-) है तो उत्तर छोटा गुणनखण्ड होगा।
अर्थात् उत्तर 8 होगा।

Type- II

1. \(\boldsymbol{\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\ldots \ldots \ldots . . \infty}}}=?}\)    
Sol. प्रश्न में समान संख्या तथा (+) तथा अनन्त तक चले तो उसका मान
=  \(\frac{1+\sqrt{4 a+1}}{2}\) होगा। 
a= 5
= \(\frac{1+\sqrt{4 \times 5+1}}{2}\) 
= \(\frac{1+\sqrt{21}}{2}\)d

2. \(\boldsymbol{\sqrt{10-\sqrt{10-\sqrt{10 \ldots \ldots \ldots \ldots \infty}}}}\)     
Sol. प्रश्न में समान संख्या, (-) तथा अन्नत तक चले तो इसका मान = \(\frac{-1+\sqrt{4 a+1}}{2}\) 
a=10
= \(\frac{-1+\sqrt{4 \times 10+1}}{2}\) 
= \(\frac{-1+\sqrt{41}}{2}\) 

Type- III

1. \(\boldsymbol{\sqrt{155-\sqrt{111+\sqrt{94+\sqrt{31+\sqrt{25}}}}}}\)     
Sol. \(\sqrt{155-\sqrt{111+\sqrt{94+\sqrt{31+5}}}}\)
\(\sqrt{155-\sqrt{111+\sqrt{94+6}}}\)
\(\sqrt{155-\sqrt{111+10}}\)    
\(\begin{array}{l} \sqrt{155-11} \ \sqrt{144}=12 \end{array}\)

Type- IV

1. \(\boldsymbol{\sqrt{7 \sqrt{7 \sqrt{7 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \infty}}}=?}\)    
Sol. यदि प्रश्न में गुणा में अन्नत तक चले तो उस प्रश्न उत्तर वही संख्या होता है।
अत: \(\sqrt{7 \sqrt{7 \sqrt{7 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \infty}}}=7\)

2. \(\boldsymbol{\sqrt{12 \sqrt{12 \sqrt{12 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \infty}}}=?}\)    
Sol. \(\sqrt{12 \sqrt{12 \sqrt{12 \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . \infty}}}=12\)    

Type- V

यही ऊपर वाली श्रेणी अन्नत तक नहीं चले तो
\(\sqrt{a \sqrt{a \sqrt{a \ldots \ldots \ldots}}} n=\)

\(a \frac{2^{n}-1}{2 n}\)

1. \(\boldsymbol{\sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2}}}}=?}\)     
Sol.  n=4
 \(2^{\frac{2^{4-1}}{2^{4}}}=2^{\frac{16-1}{16}}=2^{\frac{15}{16}}\)  

2. \(\boldsymbol{\sqrt{5 \sqrt{5 \sqrt{5 \sqrt{5 \sqrt{5}}}}}=?}\)     
Sol. n=5
 \(5^{\frac{2^{5}-1}{2^{5}}}\)
= \(5^{\frac{32-1}{32}}\) 
= \(5^{\frac{31}{32}}\)

- किसी भी संख्या के हमेशा दो शेषफल होते है।
-3        +8
\(\frac{30}{11}\)

Note:- दोनो शेषफलों का योग उसके भाजक के बराबर होता है।
यदि भाजक भाज्य से बड़ा हो तो शेषफल भाज्य ही होगा।
Ex- में  \(\frac{11}{17}\) 11 ही शेषफल होगा।

1. 37×489×624×32 में 11 का भाग दिया जाये तो शेषफल कितना प्राप्त होगे।
Sol.  \(\frac{37 \times 489 \times 624 \times 32}{11}\)    
(+4) × (+5) × (-3) ×(-1)
\(\frac{60}{11}\) शेषफल 5

2. 27×64×85×166 में 7 का भाग देने पर शेषफल कितना प्राप्त होगे।
Sol. \(\frac{27 \times 64 \times 85 \times 166}{11}\)     
= (-1) × (+1) × (+1) × (-2)
= 2 शेषफल
घातांक संख्याओं में शेषफल ज्ञात करना
(-1)^सम= 1
(-1)^विषम= -1

1. 25125 में 26 का भाग देने पर शेषफल बताओ।
Sol. 25 में 26 का भाग देने पर शेषफल -1 मिलेगा।
तो शेषफल = (-1)¹²⁵=-1
अर्थात् शेषफल = 26-1=25

2. 2³¹ में 9 का भाग देने पर शेषफल क्या प्राप्त होगा। 
Sol. \(\frac{2^{31}}{9}=\)   
= \(\frac{2^{1} \times\left(2^{3}\right)^{10}}{9}\) 
= 2×8¹⁰ 
= शेषफल = 2× (-1)¹⁰= 2
3. 7+77+777…………..777…… (100 बार) को 8 से विभाजित करने पर शेषफल क्या प्राप्त होगा।
Sol. \(\frac{7+77+777+7777 \ldots \ldots \ldots \ldots}{8}\)    
7+5+1+1+……………… (98 बार)
7+5+98= \(\frac{110}{8}\) में शेषफल 6 होगा।

-    किसी भी व्यंजक में 5×2 के जितने जोड़े बनेगे उतने 0 प्राप्त होगे।
-    शून्यों की संख्या 2×5 की न्यूनतम घात पर निर्भर करते है।
1.    2³⁰ ×5²⁶  में आखिर में शून्यों की संख्या बताओ।
Sol.    
प्रश्न 5 की घात कम है तो आखिरी में शुन्यों की संख्या 26 होगी।

2.    (25)¹⁶ × (8)¹⁵  में आखिर में शून्यों की संख्या बताओ।
Sol.   
 \((25)^{16} \times(8)^{15} \ \left(5^{2}\right)^{16} \times\left(8^{3}\right)^{15} \ 5^{32} \times 2^{45} \)
अत: 5×2 के 32 जोड़े बनेंगे तो आखिर में जीरो की संख्या = 32

3.    5×10×15×20………………55×60 में आखिर में शून्यों की संख्या बताओ।
Sol.    
5×10×15×20………………55×60
(5×1) × (5×2)× (5×3)………. (5×11) × (5×12)
512 (1×2×3×4×…………12)
1 से 12 तक 2 की घात =  ​​​​
\(\begin{array}{l} \frac{12}{2}=6 \ \frac{6}{2}=3 \ \frac{3}{2}=1 \ \hline 9 \ \hline \end{array}\)
 \(5^{12} \times\left(2^{9}\right)\)
तो 5×2 के 9 जोड़े बन पायेगे अत: आखिर में 9 जीरो होगी।

4.    1×2×3×4 ………….. 299×300 में आखिर में जीरो की संख्या बताओ।
Sol.    
यदि लगातार प्राकृत संख्या हो तो
आखिरी जीरो की संख्या =  
 \(\begin{array}{l} \frac{300}{5}=60 \ \frac{60}{5}=12 \ \frac{12}{5}=2 \ \hline 74 \ \hline \end{array}\)
 
74  
5.    1×3×5×7×9……………197×199 में आखिरी में शून्यों की संख्या बताओ।
Sol.    
उपरोक्त प्रश्न में सभी विषम संख्या है तो एक भी जीरो नहीं आयेगा।
  
6.    1×3×5×7×……………47×49×64 में आखिरी में शून्यों की संख्या बताओ।
Sol.    
5 की संख्या = 5, 15, 25, 35, 45
1+1+2+1+1=6
2 की संख्या = 64= 2⁶
अर्थात् 2×5 के 6 जोड़े बनेगे
अत: 6 जीरो Ans.