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महत्त्वपूर्ण तथ्य –

• साधारण वर्ष का प्रथम दिन और अंतिम दिन एक समान होते हैं।
  उदाहरण : यदि 1 जनवरी, 2003 को बुधवार हो, तो 31 दिसंबर, 2003 को बुधवार ही होगा।
  लीप वर्ष के प्रथम दिन और अंतिम दिन में 1 दिन का अंतर होता है।
  उदाहरण : यदि 1 जनवरी, 2004 को बृहस्पतिवार हो, तो 31 दिसंबर, 2004 को शुक्रवार होगा अर्थात् अंतिम दिन प्रथम से 1 दिन आगे का होगा।
  साधारण वर्ष में वे महीने, जिनके प्रथम दिन (1 तारीख) को समान होते हैं।
  (क) जनवरी-अक्टूबर           (ख) फरवरी-मार्च-नवंबर
  (ग) अप्रैल-जुलाई    (घ) सितंबर-दिसंबर
  मई, जून और अगस्त महीनों के प्रथम दिन किसी भी अन्य महीने के प्रथम दिन के समान नहीं होते हैं।
  लीप वर्ष में वे महीने, जिनके प्रथम दिन (1 तारीख) समान होंगे -
  (अ) जनवरी-अप्रैल-जुलाई
  (ब) फरवरी-अगस्त
  (स) मार्च-नवंबर
  (द) सितंबर-दिसंबर
  मई, जून और अक्टूबर महीनों के प्रथम दिन किसी भी अन्य महीने के प्रथम दिन के समान नहीं होते हैं।
• प्रत्येक शताब्दी वर्ष लीप वर्ष नहीं होता, केवल वही शताब्दी वर्ष लीप वर्ष होंगे, जिनमें 400 से भाग देने पर कुछ भी शेषफल नहीं बचता। अर्थात् वे शताब्दी वर्ष जो लीप वर्ष होंगे, 400, 800, 1200, 1600, 2000, 2400, 2800 इत्यादि।
• शताब्दी वर्षों के अलावा वे वर्ष लीप वर्ष होंगे, जिनको 4 से भाग देने पर शेषफल नहीं बचता है। अर्थात् 1984, 1988, 1992 इत्यादि लीप वर्ष होंगे।
• लगातार 400 वर्षों में लीप वर्षों की संख्या 97 होती है। क्योंकि 100, 200, 300वें शताब्दी वर्ष लीप वर्ष नहीं होते हैं।

अतिरिक्त दिन –
साधारण वर्ष = 365 दिन
= 52 सप्ताह + 1 अतिरिक्त दिन
= 1 अतिरिक्त दिन
अर्थात् साधारण वर्ष में केवल एक अतिरिक्त दिन होता है।
लीप वर्ष = 366 दिन
= 52 सप्ताह + 2 अतिरिक्त दिन
= 2 अतिरिक्त दिन
लीप वर्ष में दो अतिरिक्त दिन होता है।
महीने चार प्रकार के होते हैं - 31 दिन वाले, 30 दिन वाले तथा फरवरी 28 या 29 दिन हो सकती है।
31 दिन वाले महीने (जनवरी, मार्च, मई, जुलाई, अगस्त, अक्टूबर, दिसंबर) में अतिरिक्त दिनों की संख्या 31/7 = 4 सप्ताह + 3 अतिरिक्त दिन
= 3 अतिरिक्त दिन

• 30 दिन वाले महीने (अप्रैल, जून, सितंबर, नवंबर) में अतिरिक्त दिनों की संख्या -
  30/7 = 4 सप्ताह + 2 अतिरिक्त दिन
  = 2 अतिरिक्त दिन
• लीप वर्ष में फरवरी, 29 दिन की होती है, तब अतिरिक्त दिनों की संख्या
  29/7 = 4 सप्ताह + 1 अतिरिक्त दिन
  = 1 अतिरिक्त दिन
• साधारण वर्ष में फरवरी 28 दिन की होती है, तब अतिरिक्त दिनों की संख्या।
  28/7 = 4 सप्ताह + 0 अतिरिक्त दिन
  = 0 अतिरिक्त दिन
• 100, 200, 300वां वर्ष लीप वर्ष नहीं होते साधारण वर्ष होते हैं। केवल 400वां वर्ष या 400 के गुणज वाले शताब्दी वर्ष ही लीप वर्ष होते हैं अर्थात् 800, 1200, 1600, 2000
• 100 वर्ष = 76 साधारण वर्ष + 24 लीप वर्ष
  = 76 × 1 + 24 × 2 (साधारण वर्ष में एक तथा लीप वर्ष में 2 अतिरिक्त दिन होते हैं।)
  = 76 + 48
  = 124 अतिरिक्त दिन
  = 17 सप्ताह + 5 अतिरिक्त दिन
  = 5 अतिरिक्त दिन
• 200 वर्षों में अतिरिक्त दिन = 2 × 100 वर्ष
  = 2 × 5 अतिरिक्त दिन
  = 10 अतिरिक्त दिन (एक सप्ताह + 3 अतिरिक्त दिन)
  = 3 अतिरिक्त दिन
• 300 वर्ष = 3 × 100 वर्ष
  = 3 × 5 अतिरिक्त दिन
  = 15 अतिरिक्त दिन (2 सप्ताह + 1 अतिरिक्त दिन)
  = 1 अतिरिक्त दिन
• 400 वर्ष = 4 × 100 वर्ष
  = 4 × 5 अतिरिक्त दिन
  = 20 अतिरिक्त दिन
  परंतु 400 वर्ष लीप वर्ष होता है। अत: अतिरिक्त दिनों की संख्या में 1 जोड़ना होगा।
  = 20 + 1 = 21 अतिरिक्त दिन
  = 21 (3 सप्ताह + 0 अतिरिक्त दिन)
  = 0 अतिरिक्त दिन
  अत: 400 वर्ष में कोई अतिरिक्त दिन नहीं होता है।

TYPE-I
(1 जनवरी सन् 1 अर्थात् 1 जनवरी 1 A.D. को आधार मानकर)

उदा.  1 जनवरी सन् 2001 को कौन-सा दिन था?
         (a) रविवार                 (b) मंगलवार
         (c) सोमवार                (d) शनिवार                  [c]
व्याख्या – प्रस्तुत प्रश्न 1 जनवरी सन् 1 को आधार मानकर पूछा गया है।
         1 जनवरी सन् 1 से 1 जनवरी, 2001 तक
         = 200 वर्ष + 1 दिन
         2000 वर्ष में अतिरिक्त दिन = 0
         (400 वर्ष में अतिरिक्त दिन = 0 अत: 400 ×5 = 2000 में भी 0)
         अत: 2000 वर्ष में 0 अतिरिक्त दिन होंगे।
         अत: 1 जनवरी सन् 2001 में कुल अतिरिक्त दिन
         = 0 + 1 = 1
         और 1 अतिरिक्त दिन सोमवार का द्योतक है।
         अत: 1 जनवरी, 2001 को सोमवार होगा।

TYPE-II
(अन्य तिथि को आधार मानकर दिन ज्ञात करना)

उदा.  यदि 1 जनवरी, 1910 को शुक्रवार मान लिया जाए तो 1 जनवरी, 1901 को कौन-सा दिन होगा?
         (a) सोमवार               (b) मंगलवार
         (c) बुधवार                 (d) रविवार                    [a]
व्याख्या –
         1 जनवरी, 1910 से 1 जनवरी, 1901 में 9 वर्ष होंगे। अत: 9 वर्षों में अतिरिक्त दिन
         चूँकि इन 9 वर्षों में 2 लीप वर्ष होंगे। (1904, 1908)
         अत: 7 साधारण वर्ष + 2 लीप वर्ष
         = 7 × 1 + 2 × 2
         = 11 दिन (1 हफ्ता + 4 दिन)
         = 4 अतिरिक्त दिन
         चूँकि पीछे की तारीख का दिन पूछा जा रहा है। अत: हम दिए हुए दिन शुक्रवार से 4 दिन पीछे का निकालेंगे।
         शुक्रवार – 4 = सोमवार
         अत: 1 जनवरी, 1901 को सोमवार होगा।
 

TYPE-III

उदा.  महेश का जन्म 19 नवंबर, 1981 को हुआ था। बताइये किस तारीख काे वह 24 साल 3 माह 15 दिन का हो जाएगा?
         (a) 4 मार्च, 2006      (b) 6 मार्च, 2006
         (c) 5 मार्च, 2005       (d) 4 मार्च, 2005         [b]
         व्याख्या –

अत: 6 मार्च, 2006 को वह 24 साल 3 माह 15 दिन का हो जाएगा।

TYPE-IV

उदा.  राम, रमेश से 178 दिन बड़ा है। यदि रमेश का जन्म मंगलवार को हुआ तो राम का जन्म किस दिन हुआ?
         (a) गुरुवार                 (b) शनिवार
         (c) सोमवार                (d) मंगलवार                 [b]
         व्याख्या –
         अतिरिक्त दिनों की संख्या
         = 178/7 = 25 सप्ताह + 3 दिन
         = अत: 3 अतिरिक्त दिन
         चूँकि राम, रमेश से बड़ा है। अत: वह रमेश से पहले पैदा हुआ है। अत: पीछे की घटना का दिन पूछा गया है। अत: हम 3 दिन पीछे के निकालेंगे।
         राम का जन्म = मंगलवार – 3
         = शनिवार को हुआ।

TYPE-V

उदा.  यदि नवंबर की पहली तारीख सोमवार को पड़ती है तो 25 नवंबर को कौन-सा दिन होगा?
         (a) मंगलवार              (b) बृहस्पतिवार
         (c) बुधवार                 (d) शुक्रवार                  [b]
         व्याख्या –    
   
         चूँकि हर 7 दिन बाद वही दिन पड़ता है। अत: 22 तारीख को सोमवार पड़ेगा।
         तो 25 तारीख को = सोमवार + 3 [22+3] = बृहस्पतिवार
         अत: 25 तारीख को बृहस्पतिवार होगा।

TYPE-VI

उदा.  यदि किसी माह का तीसरा दिन सोमवार है, तो निम्नलिखित में से उस माह के 21वीं तारीख से 5वां दिन कौन-सा होगा?
         (a) बृहस्पतिवार         (b) सोमवार
         (c) बुधवार                 (d) मंगलवार
         (e) इनमें से कोई नहीं                                      [d]
         व्याख्या –
        प्रश्न के अनुसार 3 तारीख को सोमवार है।
         21वें तारीख से 5वां दिन = 25 तारीख होगी।
         चूँकि 3 तारीख को सोमवार है। अत: = 3 + 21 = 24 तारीख को भी सोमवार है। (चूँकि 7, 14, 21, 28 दिन बाद वही दिन पड़ता है) अत: 25 तारीख को मंगलवार होगा।
 

TYPE-VII

उदा.  यदि किसी वर्ष (जो लीप वर्ष न हो) का पहला दिन शुक्रवार हो तो उस वर्ष का अंतिम दिन कौन-सा होगा?
         (a) शुक्रवार               (b) रविवार
         (c) सोमवार                (d) मंगलवार                 [a]
व्याख्या – साधारण वर्ष में 1 जनवरी और 31 दिसंबर एक समान दिन पड़ता है। अत: अंतिम दिन शुक्रवार होगा।

TYPE-VIII

उदा.  सन् 1993 के कैलेण्डर का दुबारा कब प्रयोग किया गया होगा?
         (a) 1997                  (b) 1999
         (c) 2003                  (d) 2001                     [b]
व्याख्या – सन् 1993 साधारण वर्ष है। सन् 1993 का कैलेण्डर उस साधारण वर्ष के लिए पुन: प्रयुक्त हो सकता है, जिसका प्रथम और अंतिम दिन वही हो, जो सन् 1993 का है, जिसमें साधारण वर्ष का प्रथम और अंतिम दिन समान होता है। माना सन् 1993 का प्रथम दिन रविवार है। अत: इसका अंतिम दिन भी रविवार होगा।

अत: 1993 कैलेण्डर का पुन: 1999 में प्रयोग किया जा सकता था।