वर्ग-वर्गमूल & घन-घनमूल 

वर्गमूल\(\rightarrow\) “\(\sqrt{}\) ” या \(()^{\frac{1}{2}}\)

-   अर्थात् जिस संख्या का आखिरी अंक 1, 4, 5, 9, 0, 6 है तो वह संख्या पूर्ण वर्ग हो सकती है।

-   जिस संख्या का आखिरी अंक 2, 3, 7, 8 है तो वह संख्या कभी भी पूर्णवर्ग नहीं हो सकती है।

वर्गमूल निकालने की विधियां
1 – वैदिक विधि

1.    \(\sqrt{8281}\) 
Sol. 
 \(\sqrt{\frac{82}{\downarrow} \,\,\,\,\,\,\,\frac{81}{\downarrow}}\)    
    9     1 या 9
   91    या    99
\( 95^{2}=9025 \ \sqrt{8281}=91 \)

I.   पहले आखिरी 2 अंको पर गोला करके आखिरी अंक को 1 से 10 तक वर्गों से तुलना करेगे?
II.   आखिरी अंक 1 है तो 1 या तो 1 के वर्ग के पीछे या 9 के वर्ग के पीछे आता है अर्थात् वर्ग का इकाई अंक 1 या 9 आयेगा
III.   शेष बची संख्या 82 है तो 82 से पहले पूर्ण वर्ग 81 आता है तथा 81, 9 का वर्ग होता हे।
IV.   अत: \(\sqrt{8281}\) या तो 91 या 99 होगा।
V.   अब बीच की संख्या \(95^{2}=9025\) है तो \(\sqrt{8281}=91\) होगा। 

2. \(\sqrt{12544}=?\)    
Sol. 
 

2– भागफल विधि

1. \(\sqrt{3025}=?\)   
Sol.    

I.   सर्वप्रथम 2 खण्ड बनाते है दायी खण्ड में संख्या लिखकर 2-2 अंको का जोड़ा बनाते है।

II.   प्रथम जोड़ा 30 है तो 30 से पहले पूर्ण वर्ग 25 है तो प्रथम खण्ड में 5 लिखकर 5 जोड़ देते है तथा दूसरे खण्ड में 30 में से 25 घटा देते है।

III.   नीचे प्रथम खण्ड में 10 प्राप्त हुआ तथा द्वितीय खण्ड में 5 प्राप्त है। अब द्वितीय खण्ड में ऊपर से 25 लिख देते है।

IV.   अब 10 के साथ किस संख्या से गुणा करे कि 252 या उसे कम प्राप्त हो जाये तो 5 से गुणा करते है।

V.   तो \(\sqrt{3025}=25\) का होगा क्योंकि पहली बार पहले खण्ड में 5 लिखा तथा दूसरी बार भी दूसरे खण्ड में 5 से गुणा किया तो

Type- I

-    न्यूनतम क्या घटाया जाये कि संख्या पूर्ण वर्ग बन जाये।
-    घटाने की स्थिति में भागफल विधि से वर्गमूल ज्ञात करेगे तथा जो भी शेषफल प्राप्त होगा वही उत्तर होगा।

1.  2644 में से कम से कम क्या घटाया जाये कि पूर्ण वर्ग बन जाये।
Sol.  

-    यहां शेषफल 43 आ रहा है तो 43 ही उत्तर होगा।
-    2644 से पहले का पूर्ण वर्ग= 2644-43=2601

2.  4 अंको की बड़ी संख्या बताओ जो पूर्ण वर्ग हो।
Sol.    4 अंको की सबसे बड़ी संख्या = 9999

अर्थात् 198 शेषफल आ रहा है तो यही 9999 में 198 घटा दे तो पूर्ण प्राप्त होगा।
9999-198=9801 जो कि 99 का वर्ग होगा। 
 

Type- II

-   कम से कम क्या जोड़ा जाये कि पूर्ण वर्ग बन जाये।
-   जोड़ना = (भागफल-शेषफल + 1)

1.  2644 में से कम से कम क्या जोड़ा जाये कि पूर्ण वर्ग बन जाये।
Sol.     

-   जोड़ने की स्थिति = 222-112+1=111

2.  5 अंको की छोटी संख्या बताओ जो एक पूर्ण वर्ग है।
Sol.  6 अंको की सबसे छोटी संख्या= 100000

-    अत: छ: अंको छोटी संख्या मे कम से कम जोड़ना पडे़गा
      = 632-144+1=489
-    अत: 6 अंको की सबसे छोटी संख्या जो पूर्ण वर्ग है =
      100000+489= 100489

घनमूल (Cabe Root) → “ \(\sqrt{ }\)” या  " \(()^{\frac{1}{3}}\) "

घनमूल निकालने की विधि

1. \(\sqrt{250047}=?\)
Sol.   

I. दी गयी संख्या के आखिरी 3 अंको पर गोला करेगे और आखिरी अंक को देखेगे कि किस संख्या के घन का आखिरी अंक के यहां 7 आखिरी अंक है जो 7 के आखिरी अंक के पीछे आता है अर्थात् घन का आखिरी अंक 3 आयेगा।

II. शेष बची संख्या 250 से पहले 6 का घन आता है तो \(\sqrt[3]{250047}=63\)
 
2. \(\sqrt[3]{8869743}=?\) 
Sol. 
 
 अत: \(\sqrt[3]{8869743}=207\)
 

Type- I 
परिमेयकरण (Rationalization)

\(\text { Ex. } \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\text { Ex. } \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=?\)

परिमेयकरण के हर विपरित चिह्न से गुणा भाग कर देते हैं। 
 \(\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\)
हर में (a+b) (a-b) = a²-b²
\(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}\)
\(=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{5-3}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}\)
 
Trick
 
हर वाली संख्या का ऊपर लाने पर चिह्न बदल जाता है तथा 
नीचे हर में वर्गों का अन्तर आ जाता है। 

\(\text { Ex. } \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\ =\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{1}\ =\sqrt{3}+\sqrt{2}\)
 \(\text { Ex. } \ \frac{1}{3+2 \sqrt{2}}\ =3-2 \sqrt{2}\)  

हर में संख्या के वर्गों का अन्तर = \(3^{2}-(2 \sqrt{2})^{2} = ​​​​9-8=1\)

  \(\ \text { Ex. } \ \frac{4}{\sqrt{15}-\sqrt{11}}\ =\frac{4 \times(\sqrt{15}+\sqrt{11})}{15-11} \ =\frac{4 \times(\sqrt{15}+\sqrt{11})}{4} \ =\sqrt{15}+\sqrt{11} \)
 \( \text { Ex. } \ \frac{5}{\sqrt{19}+\sqrt{9}}\ =\frac{5 \times(\sqrt{19}-\sqrt{9})}{19-9} \ =\frac{5(\sqrt{19}-3)}{10} \ =\frac{(\sqrt{19}-3)}{2} \)

\(\text { Q1. } \frac{1}{\sqrt{16}+\sqrt{15}}+\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}+\ldots \ldots \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}=?\)
 
   \( \text { Sol. } \sqrt{16}-\sqrt{15}+\sqrt{15}-\sqrt{14}+\ldots . . \sqrt{5}-\sqrt{4}\ =\sqrt{16}-\sqrt{4}\=4-2=2 \)


\(\text { Q2. } \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{11}}+\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{16}} \ldots \cdots \frac{1}{\sqrt{76}+\sqrt{81}}\)

 \(\text { Sol. } \frac{\sqrt{6}-\sqrt{1}}{5}+\frac{\sqrt{11}-\sqrt{6}}{5}+\frac{\sqrt{16}-\sqrt{11}}{5} \ldots . .+\frac{\sqrt{81}-\sqrt{76}}{5}\)

\(=\frac{1}{5}[\sqrt{6}-\sqrt{1}+\sqrt{11}-\sqrt{6}+\sqrt{16}-\sqrt{11} \ldots . . \sqrt{81}-\sqrt{76}]\)

\(=\frac{1}{5}[-\sqrt{1}+\sqrt{81}]=\frac{1}{5}(-1+9)=\frac{8}{5} \text { Ans. }\)


\( \text { Q1. } \sqrt{12}+2 \sqrt{35}=?\ \text { Sol. }(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2 a b \)
यहां पर = a² + b² = 12  
= a × b = 35 
35 के दो ऐसे टुकड़े करो कि उनका योग 12 हो तथा गुणनफल 35 हो। 
35 = 7 × 5 
\( \sqrt{12+2 \sqrt{7} \times \sqrt{5}} \ =\sqrt{(\sqrt{7})^{2}+(\sqrt{5})^{2}+2 \sqrt{7} \times \sqrt{5}} \=\sqrt{(\sqrt{7})+(\sqrt{5})^{2}} \=\sqrt{7}+\sqrt{5} \)


\(Q2. \frac{9}{\sqrt{16+4 \sqrt{7}}}\Sol. \=\frac{9}{\sqrt{16+2 \times 2 \sqrt{\times 7}}} \ \=\frac{9}{\sqrt{16+2 \sqrt{4 \times 7}}} \=\frac{9}{\sqrt{16+2 \sqrt{28}}} \=\frac{9}{\sqrt{14}+\sqrt{2}} \=\frac{9(\sqrt{14}-\sqrt{2})}{12} \=\frac{3}{4}(\sqrt{14}-\sqrt{2}) \=\frac{3 \sqrt{2}(\sqrt{7}-1)}{4} \text { Ans }\)
\(\)
     
वर्ग→ “()2” 
\( 1^{2}=1 \ 2^{2}=4 \ 3^{2}=9 \ 4^{2}=16 \ 5^{2}=25 \ 6^{2}=36 \ 7^{2}=49 \ 8^{2}=64 \ 9^{2}=81 \ 10^{2}=100 \)
                                                                                 
                                                                                 Method- I
    
1.  (76)²
Sol.
7²|2×7×6|6²
= 49|84|36
= 49|84+3|6
= 49|87|6
= 49+8|7|6
= 5776

2.  (93)² =?
Sol.
\( 9^{2}|2 \times 9 \times 3| 3^{2} \ =81|54| 9 \ =86|4| 9 \ =8649 \) 

  

3.  (234)² =?
Sol.    
\( 2^{2}|2 \times 3 \times 2| 2 \times 4 \times 2+3^{2}|3 \times 4 \times 2| 4^{2} \ =4|12| 26|24| 16 \ =54756 \)
 

\((a b)^{2}=a^{2}|2 a b| b^{2}\)
\((a b c)^{2}=a^{2}|2 a b| 2 a c+b^{2}|2 b c| c^{2}\)
\((a b c d)^{2}=a^{2}|2 a b| 2 a c+b^{2}|2 a d+2 b c| 2 b d+c^{2}|2 c d| d^{2}\)
\((a b c d e)^{2}=a^{2}|2 a b| 2 a c+b^{2}|2 a d+2 b c| 2 a c+2 b d+c^{2}| \ 2 b e+2 c d| 2 c e+d^{2}|2 d e| e^{2}\)
 

Method-II
आधार-उपाधार विधि

आधार = 10, 100, 1000……….
उपाधार = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11………..98, 99
विचलन = 1, 2, 3, 4……………99


1.  (114)²= ?
Sol.  
114= 100+14
114+14|142 |
128|1962 
12996

2.  (94)²= ?
Sol.    
94 = 100 – 6 
(94)² 
94-6|6²|
88|6²|
8836

-  यही आधार 10 मानेगे तो दूसरे खण्ड में 1अंक रखेगे।
-  यही आधार 100 मानेगे तो दूसरे खण्ड में 2 अंक रखने है।
-  यही आधार 1000 मानेगे तो तीसरे खण्ड में 3 अंक रखने है।

3.  (213)²= ?
Sol.    

2×100+13
(संख्या)² = उपाधार अंक × (संख्या   विचलन) (विचलन)² 
(213)²= 2× (213+13)|13²|
= 2× 226|169²|
= 452|169
= 45369

4.  (1008)²= ?
Sol.    
आधार = 1000
1008+8|8²|
1016|64

\(\because\) दूसरे खण्ड में 3 अंक होने चाहिये। क्योंकि आधार 1000 है। 
1016064

Method-III

जब इकाई अंक 5 हो तो


- इसमें दाई खण्ड में 5 का वर्ग लिखा जाता है तथा प्रथम खण्ड में संख्या x अगली संख्या लिखा जाता है।

1.  (125)²= ?
Sol.    
 (12×13)|5² =15625

2.  (95)²= ?
Sol.  
(95)²= 9×10|5²
9025

घन (Cube)
आधार-उपाधार विधि

(A)  आधार विधि
(संख्या)³=संख्या+2×विचलन|3×(विचलन)²| (विचलन)³

(B)  उपाधार विधि
(संख्या)³=(उपाधार अंक)² (संख्या+2×विचलन)|उपाधार अंक ×3× (विचलन)²|(विचलन)³

1.  (17)² = ?
Sol.    
आधार = 10, विचलन = 7
\((108)^{3} =108+2 \times 8\left|3 \times 8^{2}\right| 8^{3} \=124|192| 512 \=124|192+5| 12 \=124|197| 12 \=124+1|97| 12 \=1259712\)

Note:-
- इस विधि में भी आधार 10 लेने पर दूसरे तथा तीसरे खण्ड में 1-1 अंक रहेगे।
- आधार 100 लेने पर दूसरे तथा तीसरे खण्ड में 2-2 अंक रहेगे।
- आधार 1000 लेने पर दूसरे तथा तीसरे खण्ड में 3-3 अंक रहेगे।

2.  (108)³= ?
Sol. 
   \((108)^{3} =108+2 \times 8\left|3 \times 8^{2}\right| 8^{3} \=124|192| 512 \=124|192+5| 12 \=124|197| 12 \=124+1|97| 12 \=1259712\)

3.  (212)³= ?
Sol.    

आधार= 100 
उपाधार = 200
उपाधार अंक = 2
विचलन = 12

\((212)^{3} \=2^{2}(212+2 \times 12)\left\lfloor 2 \times 3 \times 12^{2}\right) \mid 12^{3} \=4 \times 236|864| 1728 \=944|864+17| 28 \ =944|881| 28 \=944+8|81| 28 \=9528128\)